Ⅰ 初中數學函數大全（分類）
一次函數I、定義與定義式：
自變數x和因變數y有如下關系：
y=kx+b（k，b為常數，k≠0）
則稱y是x的一次函數。
特別地，當b=0時，y是x的正比例函數。
II、一次函數的性質：
y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k
即 △y/△x=k
III、一次函數的圖象及性質：
1． 作法與圖形：通過如下3個步驟（1）列表（一般找4-6個點）；（2）描點；（3）連線，可以作出一次函數的圖象。（用平滑的直線連接）
2． 性質：在一次函數圖象上的任意一點P（x，y），都滿足等式：y=kx+b。
3． k，b與函數圖象所在象限。
當k＞0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大；
當k＜0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。
當b＞0時，直線必通過一、二象限；當b＜0時，直線必通過三、四象限。
特別地，當b=0時，直線通過原點O（0，0）表示的是正比例函數的圖象。
這時，當k＞0時，直線只通過一、三象限；當k＜0時，直線只通過二、四象限。
IV、確定一次函數的表達式：
已知點A（x1，y1）；B（x2，y2），請確定過點A、B的一次函數的表達式。
（1）設一次函數的表達式（也叫解析式）為y=kx+b。
（2）因為在一次函數上的任意一點P（x，y），都滿足等式y=kx+b。所以可以列出2個方程：
y1=kx1+b① 和 y2=kx2+b②。
（3）解這個二元一次方程，得到k，b的值。
（4）最後得到一次函數的表達式。
V、在y=kx+b中,兩個坐標系必定經過(0,b)和(-b/k,0)兩點
VI、一次函數在生活中的應用
1.當時間t一定，距離s是速度v的一次函數。s=vt。
2.當水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函數。設水池中原有水量S。g=S-ft。
反比例函數
形如 y＝k／x(k為常數且k≠0) 的函數，叫做反比例函數。
自變數x的取值范圍是不等於0的一切實數。
反比例函數的圖像為雙曲線。
如圖，上面給出了k分別為正和負（2和-2）時的函數圖像。
二次函數
一般地，自變數x和因變數y之間存在如下關系：
y=ax^2+bx+c (a≠0)
（a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大。）
則稱y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。
x是自變數，y是x的函數
二次函數的三種表達式
一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）
頂點式：y=a(x-h)^2+k [拋物線的頂點P（h，k）] 對於二次函數y=ax^2+bx+c 其頂點坐標為 (-b/2a,(4ac-b^2)/(4a))
交點式：y=a(x-x₁)(x-x ₂) [僅限於與x軸有交點A（x₁ ，0）和 B（x₂，0）的拋物線]
其中x1，2= (-b±√(b^2－4ac))/(2a)
註：在3種形式的互相轉化中，有如下關系:
______
h=-b/(2a) k=(4ac-b^2)/(4a) x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a
二次函數的圖像
在平面直角坐標系中作出二次函數y=x^2的圖像，
二次函數可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線。
二次函數標准畫法步驟
（在平面直角坐標繫上）
（1）列表
（2）描點
（3）連線
拋物線的性質
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。
特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）
2.拋物線有一個頂點P，坐標為P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )
當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ= b^2-4ac=0時，P在x軸上。
3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。
|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；
當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交於（0，c）
6.拋物線與x軸交點個數
Δ= b^2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。
Δ= b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
_______
Δ= b^2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a）
當a>0時，函數在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x<-b/2a}上是減函數，在{x|x>-b/2a}上是增函數；拋物線的開口向上；函數的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}相反不變
當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數是偶函數，解析式變形為y=ax^2+c(a≠0)
二次函數與一元二次方程
特別地，二次函數（以下稱函數）y=ax^2+bx+c，
當y=0時，二次函數為關於x的一元二次方程（以下稱方程），
即ax^2+bx+c=0
此時，函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。
函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。
1．二次函數y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：
解析式
y=ax^2
y=a(x-h)^2
y=a(x-h)^2+k
y=ax^2+bx+c
頂點坐標
(0，0)
(h，0)
(h，k)
(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)
對 稱 軸
x=0
x=h
x=h
x=-b/2a
當h>0時，y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到，
當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到．
當h>0,k>0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k的圖象；
當h>0,k<0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象；
當h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象；
當h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象；
因此，研究拋物線 y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便．
2．拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)．
3．拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而減小；當x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而增大．若a<0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而增大；當x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而減小．
4．拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標軸的交點：
(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c)；
(2)當△=b^2-4ac>0，圖象與x軸交於兩點A(x₁，0)和B(x₂，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的兩根．這兩點間的距離AB=|x₂-x₁| 另外，拋物線上任何一對對稱點的距離可以由|2×（-b/2a）－A |（A為其中一點）
當△=0．圖象與x軸只有一個交點；
當△<0．圖象與x軸沒有交點．當a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數時，都有y>0；當a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數時，都有y<0．
5．拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當x= -b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．
頂點的橫坐標，是取得最值時的自變數值，頂點的縱坐標，是最值的取值．
6．用待定系數法求二次函數的解析式
(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0)．
(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸時，可設解析式為頂點式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．
(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)．
7．二次函數知識很容易與其它知識綜合應用，而形成較為復雜的綜合題目。因此，以二次函數知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現．
Ⅱ 如何用幾何畫板動態演示二次函數函數圖像
如何用幾何畫板作二次函數圖
二次函數是描述客觀世界運動變化規律的數學模型，是以變化與對應為基礎的重要數學概
念。要讓學生理解二次函數的變數之間的相互依賴關系，清楚地看到二次函數的幾種形式
y=ax2
、
y=ax2
+k
、
y=
（
x
－
h
）
2
、
y=a
（
x
－
h
）
2+k
、
y=ax2+bx+c
之間的平移、對稱關系，
需要給學生提供大量的圖象素材，
讓學生觀察、
分析與對比。
當然最好還是讓他們直觀地觀
看當函數中的幾個參數
a
、
b
、
c
或參數
h
、
k
發生變化時，圖形是如何變化的，看到在運動
和變化的過程中變數之間的對應關系。
這個靠老師口頭講解、
黑板上畫圖都很難達到這個要
求，而利用多媒體技術可以幫助我們做到這一點。
幾何畫板與
Z+Z
教育平台可以讓抽象的函數問題變得直觀形象、化靜為動，動態地演
示作圖過程，
動態地演示函數值隨自變數的變化而變化的情景，
有利於學生理解函數的概念、
圖象與性質。如何有效地把信息技術和數學教學進行整合？如何把幾何畫板與
Z+Z
教育平
台這些新的教學工具完美地融合到二次函數的教學過程中？下面我簡單介紹一下用幾何畫
板製作二次函數課件：
我想用幾何畫板製作課件的目標主要有三個：
1
、快速地作出我們想要的二次函數的
圖象；
2
、動態演示幾種形式的二次函數的圖象，幫助學生理解二次函數的圖象、性質及幾
種形式的二次函數圖象之間的平移與對稱關系；
3
、動態演示二次函數的函數值隨自變數的
變化而變化的情景，幫助學生理解二次函數的單調性與二次函數的極值問題。
一、利用幾何畫板作二次函數
y=3x2
－
4x+1
的圖象。這種形式的圖象比較容易在幾
何畫板窗口上畫出，教師可以在上課過程中即興作圖。
1
、建立平面直角坐標系。在進入幾何畫板窗口後，單擊編輯窗口上的
「
圖面
」
選擇
「
顯
示坐標軸
」
，
此時你可以看到窗口上出現了一個坐標軸，
你拉動
x
軸正半軸上的一個滑動點，
可以改變單位長度的大小。
2
、畫點。點擊編輯窗口左側的工具欄中的畫點工具
，在
x
軸上任意處單擊，可以在
x
軸上做出一個點，如點
A
。如果你想把這個點改為別的名字，你可以用手形工具
，
雙擊字母
A
，在出現的對話框中輸入你想要的字母。
3
、測算坐標。單擊點
A
，單擊上編輯窗口的
「
測算
」
，選擇
「
坐標
」
，可以看到編輯窗
口左上角出現點
A
的坐標
，如
A(-2.18,0.00)
4
、
分離坐標。
把坐標
A
中的橫坐標分離出來，
當作二次函數
y=3x2
－
4x+1
的自變數
x
。
雙擊編輯窗口中的點
A
的坐標
(-2.18,0.00)
會出現一個計算器，
然後單擊計算器上的
「
值
」
，
接著選擇點
A
下拉菜單中的
x
，再按確定，就可以將
A
的橫坐標
XA=-2.18
分離出來
Ⅲ 三角函數，的函數表的大全
公式一： 設α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數的值相等： sin（2kπ+α）=sinα k∈z cos（2kπ+α）=cosα k∈z tan（2kπ+α）=tanα k∈z cot（2kπ+α）=cotα k∈z sec（2kπ+α）=secα k∈z csc（2kπ+α）=cscα k∈z
公式二： 設α為任意角，π+α的三角函數值與α的三角函數值之間的關系： sin（π+α）=－sinα k∈z cos（π+α）=－cosα k∈z tan（π+α）=tanα k∈z cot（π+α）=cotα k∈z sec(π+α)=-secα k∈z csc(π+α)=-cscα k∈z
公式三： 任意角α與 -α的三角函數值之間的關系： sin（－α）=－sinα cos（－α）=cosα tan（－α）=－tanα cot（－α）=－cotα sec(-α)=secα csc(-α)=-cscα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數值之間的關系： sin（π－α）=sinα cos（π－α）=－cosα tan（π－α）=－tanα cot（π－α）=－cotα sec(π-α)=-secα csc(π-α)=cscα
公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數值之間的關系： sin（2π－α）=－sinα cos（2π－α）=cosα tan（2π－α）=－tanα cot（2π－α）=－cotα sec(2π-α)=secα csc(2π-α)=-cscα
公式六： π/2±α與α的三角函數值之間的關系： sin（π/2+α）=cosα cos（π/2+α）=－sinα tan（π/2+α）=－cotα cot（π/2+α）=－tanα sec(π/2+α)=-cscα csc(π/2+α)=secα sin（π/2－α）=cosα cos（π/2－α）=sinα tan（π/2－α）=cotα cot（π/2－α）=tanα sec(π/2-α)=cscα csc(π/2-α)=secα sin（3π/2+α）=－cosα cos（3π/2+α）=sinα tan（3π/2+α）=－cotα cot（3π/2+α）=－tanα sec(3π/2+α)=cscα csc(3π/2+α)=-secα sin（3π/2－α）=－cosα cos（3π/2－α）=－sinα tan（3π/2－α）=cotα cot（3π/2－α）=tanα sec(3π/2-α)=-cscα csc(3π/2-α)=-secα
誘導公式記憶口訣：「奇變偶不變，符號看象限」。
「奇、偶」指的是π/2的倍數的奇偶，「變與不變」指的是三角函數的名稱的變化：「變」是指正弦變餘弦，正切變餘切。（反之亦然成立）「符號看象限」的含義是：把角α看做銳角，不考慮α角所在象限，看n·(π/2)±α是第幾象限角，從而得到等式右邊是正號還是負號。
符號判斷口訣： 「一全正；二正弦；三兩切；四餘弦」。這十二字口訣的意思就是說： 第一象限內任何一個角的四種三角函數值都是「+」； 第二象限內只有正弦是「+」，其餘全部是「－」； 第三象限內只有正切和餘切是「+」，其餘全部是「－」； 第四象限內只有餘弦是「+」，其餘全部是「－」。
「ASCT」反Z。意即為「all(全部)」、「sin」、「cos」、「tan」按照將字母Z反過來寫所佔的象限對應的三角函數為正值。編輯本段其他三角函數知識
同角三角函數的基本關系式
倒數關系 tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1
商的關系 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα
平方關系 sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α)
同角三角函數關系六角形記憶法
構造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中間1"的正六邊形為模型。 倒數關系 對角線上兩個函數互為倒數； 商數關系 六邊形任意一頂點上的函數值等於與它相鄰的兩個頂點上函數值的乘積。（主要是兩條虛線兩端的三角函數值的乘積）。由此，可得商數關系式。 平方關系 在帶有陰影線的三角形中，上面兩個頂點上的三角函數值的平方和等於下面頂點上的三角函數值的平方。
兩角和差公式
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ sin（α－β）=sinαcosβ－cosαsinβ cos（α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ tan（α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanα ·tanβ) tan（α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα ·tanβ)
二倍角的正弦、餘弦和正切公式
sin2α=2sinαcosα cos2α=cos^2(α)－sin^2(α)=2cos^2(α)－1=1－2sin^2(α) tan2α=2tanα/(1－tan^2(α))
半形的正弦、餘弦和正切公式
sin^2(α/2)=(1－cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1－cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=(1—cosα)/sinα=sinα/1+cosα
萬能公式
sinα=2tan(α/2)/(1+tan^2(α/2)) cosα=(1－tan^2(α/2))/(1+tan^2(α/2)) tanα=(2tan(α/2))/(1－tan^2(α/2))
三倍角的正弦、餘弦和正切公式
sin3α=3sinα－4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)－3cosα tan3α=(3tanα－tan^3(α))/(1－3tan^2(α))
三角函數的和差化積公式
sinα+sinβ=2sin((α+β)/2) ·cos((α－β)/2) sinα－sinβ=2cos((α+β)/2) ·sin((α－β)/2) cosα+cosβ=2cos((α+β)/2)·cos((α－β)/2) cosα－cosβ=－2sin((α+β)/2)·sin((α－β)/2)
三角函數的積化和差公式
sinα·cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α－β)] cosα·sinβ=0.5[sin(α+β)－sin(α－β)] cosα·cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α－β)] sinα·sinβ=－ 0.5[cos(α+β)－cos(α－β)]
公式推導過程
萬能公式推導 sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*， （因為cos^2(α)+sin^2(α)=1） 再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α)) 然後用α/2代替α即可。 同理可推導餘弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比餘弦得到。
三倍角公式推導 tan3α=sin3α/cos3α =(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα) =(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα) 上下同除以cos^3(α)，得： tan3α=(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α)) sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα =2sinαcos^2(α)+(1－2sin^2(α))sinα =2sinα－2sin^3(α)+sinα－2sin^3(α) =3sinα－4sin^3(α) cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα－sin2αsinα =(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α) =2cos^3(α)－cosα+(2cosα－2cos^3(α)) =4cos^3(α)－3cosα 即 sin3α=3sinα－4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)－3cosα
和差化積公式推導 首先,我們知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb 我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb 所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 同理,若把兩式相減,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 同樣的,我們還知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb 所以,把兩式相加,我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb 所以我們就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 同理,兩式相減我們就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 這樣,我們就得到了積化和差的四個公式: sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
好,有了積化和差的四個公式以後,我們只需一個變形,就可以得到和差化積的四個公式.
我們把上述四個公式中的a+b設為x,a-b設為y,那麼a=(x+y)/2,b=(x-y)/2
把a,b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個公式:
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2) sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2) cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2) cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
sinπ/6=1/2，cosπ/6=√3/2， tαnπ/6=√3/3 ， cotπ/6=√3
sinπ/4=√2/2， cosπ/4=√2/2， tαnπ/4=1 ，cotπ/4=1
sinπ/3 =√3/2， cosπ/3 =1/2， tαnπ/3 =√3， cotπ/3 =√3/3
sinπ/2=1， cosπ/2=0， tαnπ/2不存在，cotπ/2=0
呵呵，還想知道什麼可以再問我
Ⅳ 2次函數圖像與x軸交點的坐標過程大全
例如:y=x2+x-6的圖像與x軸的交點的橫坐標，解題過程請詳細的將下：
設2次函數為ax^2+bx+c,二次函數與x軸相交時縱坐標為0
所以列方程ax^2+bx+c=0
求解出x的之即為橫坐標
x^2+x-6
你就讓x2+x-6=0
（x+3）(x-2)=0
x1=-3,x2=2
Ⅳ 能不能用excel自動生成函數的圖像
1以y=1/(1+x)為例，新建一個Excel文件。打開，找到其中的一個列，比如A列，在第一單元格中輸入變數值，如A1中輸入x。在A2~A10單元格中輸入變數的取值1,2,3,4……10。
Ⅵ 數學中的函數是什麼概念啊
什麼是泛函分析
泛函分析（Functional Analysis）是現代數學的一個分支，隸屬於分析學，其研究的主要對象是函數構成的空間。泛函分析是由對變換（如傅立葉變換等）的性質的研究和對微分方程以及積分方程的研究發展而來的。使用泛函作為表述源自變分法，代表作用於函數的函數。巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理論的主要奠基人之一，而數學家兼物理學家伏爾泰拉（Vito Volterra）對泛函分析的廣泛應用有重要貢獻。
泛函分析是20世紀30年代形成的數學分科。是從變分問題，積分方程和理論物理的研究中發展起來的。它綜合運用函數論，幾何學，代數學的觀點來研究無限維向量空間上的函數，運算元和極限理論。它可以看作無限維向量空間的解析幾何及數學分析。主要內容有拓撲線性空間等。泛函分析在數學物理方程，概率論，計算數學等分科中都有應用，也是研究具有無限個自由度的物理系統的數學工具。泛函分析是研究拓撲線性空間到拓撲線性空間之間滿足各種拓撲和代數條件的映射的分支學科。
賦范線性空間
從現代觀點來看，泛函分析研究的主要是實數域或復數域上的完備賦范線性空間。這類空間被稱為巴拿赫空間，巴拿赫空間中最重要的特例被稱為希爾伯特空間，其上的范數由一個內積導出。這類空間是量子力學數學描述的基礎。更一般的泛函分析也研究Fréchet空間和拓撲向量空間等沒有定義范數的空間。
泛函分析所研究的一個重要對象是巴拿赫空間和希爾伯特空間上的連續線性運算元。這類運算元可以導出C*代數和其他運算元代數的基本概念。
1. 希爾伯特空間
希爾伯特空間可以利用以下結論完全分類，即對於任意兩個希爾伯特空間，若其基的基數相等，則它們必彼此同構。對於有限維希爾伯特空間而言，其上的連續線性運算元即是線性代數中所研究的線性變換。對於無窮維希爾伯特空間而言，其上的任何態射均可以分解為可數維度（基的基數為50）上的態射，所以泛函分析主要研究可數維度上的希爾伯特空間及其態射。希爾伯特空間中的一個尚未完全解決的問題是，是否對於每個希爾伯特空間上的運算元，都存在一個真不變子空間。該問題在某些特定情況下的答案是肯定的。
2. 巴拿赫空間
一般的巴拿赫空間比較復雜，例如沒有通用的辦法構造其上的一組基。
對於每個實數p，如果p ≥ 1，一個巴拿赫空間的例子是「所有絕對值的p次方的積分收斂的勒貝格可測函數」所構成的空間。（參看Lp空間）
在巴拿赫空間中，相當部分的研究涉及到對偶空間的概念，即巴拿赫空間上所有連續線性泛函所構成的空間。對偶空間的對偶空間可能與原空間並不同構，但總可以構造一個從巴拿赫空間到其對偶空間的對偶空間的一個單同態。
微分的概念可以在巴拿赫空間中得到推廣，微分運算元作用於其上的所有函數，一個函數在給定點的微分是一個連續線性映射。
主要結果和定理
泛函分析的主要定理包括：
1. 一致有界定理（亦稱共鳴定理），該定理描述一族有界運算元的性質。
2. 譜定理包括一系列結果，其中最常用的結果給出了希爾伯特空間上正規運算元的一個積分表達，該結果在量子力學的數學描述中起到了核心作用。
3. 罕-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem）研究了如何將一個運算元保范數地從一個子空間延拓到整個空間。另一個相關結果是對偶空間的非平凡性。
4. 開映射定理和閉圖像定理。
泛函分析與選擇公理
泛函分析所研究的大部分空間都是無窮維的。為了證明無窮維向量空間存在一組基，必須要使用佐恩引理（Zorn's Leema）。此外，泛函分析中大部分重要定理都構建與罕-巴拿赫定理的基礎之上，而該定理本身就是選擇公理（Axiom of Choice）弱於布倫素理想定理（Boolean prime ideal theorem）的一個形式。
泛函分析的研究現狀
泛函分析目前包括以下分支：
1. 軟分析（soft analysis），其目標是將數學分析用拓撲群、拓撲環和拓撲向量空間的語言表述。
2. 巴拿赫空間的幾何結構，以Jean Bourgain的一系列工作為代表。
3. 非交換幾何，此方向的主要貢獻者包括Alain Connes，其部分工作是以George Mackey的遍歷論中的結果為基礎的。
4. 與量子力學相關的理論，狹義上被稱為數學物理，從更廣義的角度來看，如按照Israel Gelfand所述，其包含表示論的大部分類型的問題。
泛函分析的產生
十九世紀以來，數學的發展進入了一個新的階段。這就是，由於對歐幾里得第五公設的研究，引出了非歐幾何這門新的學科；對於代數方程求解的一般思考，最後建立並發展了群論；對數學分析的研究又建立了集合論。這些新的理論都為用統一的觀點把古典分析的基本概念和方法一般化准備了條件。
本世紀初，瑞典數學家弗列特荷姆和法國數學家阿達瑪發表的著作中，出現了把分析學一般化的萌芽。隨後，希爾伯特和海令哲來創了「希爾伯特空間」的研究。到了二十年代，在數學界已經逐漸形成了一般分析學，也就是泛函分析的基本概念。
由於分析學中許多新部門的形成，揭示出分析、代數、集合的許多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代數方程求根和微分方程求解都可以應用逐次逼近法，並且解的存在和唯一性條件也極其相似。這種相似在積分方程論中表現得就更為突出了。泛函分析的產生正是和這種情況有關，有些乍看起來很不相乾的東西，都存在著類似的地方。因此它啟發人們從這些類似的東西中探尋一般的真正屬於本質的東西。
非歐幾何的確立拓廣了人們對空間的認知，n維空間幾何的產生允許我們把多變函數用幾何學的語言解釋成多維空間的影響。這樣，就顯示出了分析和幾何之間的相似的地方，同時存在著把分析幾何化的一種可能性。這種可能性要求把幾何概念進一步推廣，以至最後把歐氏空間擴充成無窮維數的空間。
這時候，函數概念被賦予了更為一般的意義，古典分析中的函數概念是指兩個數集之間所建立的一種對應關系。現代數學的發展卻是要求建立兩個任意集合之間的某種對應關系。
這里我們先介紹一下運算元的概念。運算元也叫算符，在數學上，把無限維空間到無限維空間的變換叫做運算元。
研究無限維線性空間上的泛函數和運算元理論，就產生了一門新的分析數學，叫做泛函分析。在二十世紀三十年代，泛函分析就已經成為數學中一門獨立的學科了。
泛函分析的特點和內容
泛函分析的特點是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且還把這些概念和方法幾何化了。比如，不同類型的函數可以看作是「函數空間」的點或矢量，這樣最後得到了「抽象空間」這個一般的概念。它既包含了以前討論過的幾何對象，也包括了不同的函數空間。
泛函分析對於研究現代物理學是一個有力的工具。n維空間可以用來描述具有n個自由度的力學系統的運動，實際上需要有新的數學工具來描述具有無窮多自由度的力學系統。比如梁的震動問題就是無窮多自由度力學系統的例子。一般來說，從質點力學過渡到連續介質力學，就要由有窮自由度系統過渡到無窮自由度系統。現代物理學中的量子場理論就屬於無窮自由度系統。
正如研究有窮自由度系統要求 n維空間的幾何學和微積分學作為工具一樣，研究無窮自由度的系統需要無窮維空間的幾何學和分析學，這正是泛函分析的基本內容。因襲，泛函分析也可以通俗的叫做無窮維空間的幾何學和微積分學。古典分析中的基本方法，也就是用線性的對象去逼近非線性的對象，完全可以運用到泛函分析這門學科中。
泛函分析是分析數學中最「年輕」的分支，它是古典分析觀點的推廣，它綜合函數論、幾何和代數的觀點研究無窮維向量空間上的函數、運算元、和極限理論。他在二十世紀四十到五十年代就已經成為一門理論完備、內容豐富的數學學科了。
半個多世紀來，泛函分析一方面以其他眾多學科所提供的素材來提取自己研究的對象，和某些研究手段，並形成了自己的許多重要分支，例如運算元譜理論、巴拿赫代數、拓撲線性空間理論、廣義函數論等等；另一方面，它也強有力地推動著其他不少分析學科的發展。它在微分方程、概率論、函數論、連續介質力學、量子物理、計算數學、控制論、最優化理論等學科中都有重要的應用，還是建立群上調和分析理論的基本工具，也是研究無限個自由度物理系統的重要而自然的工具之一。今天，它的觀點和方法已經滲入到不少工程技術性的學科之中，已成為近代分析的基礎之一。
泛函分析在數學物理方程、概率論、計算數學、連續介質力學、量子物理學等學科有著廣泛的應用。近十幾年來，泛函分析在工程技術方面有獲得更為有效的應用。它還滲透到數學內部的各個分支中去，起著重要的作用。
Ⅶ 誰有MATLAB繪圖大全啊
matlab繪圖大全 一。 二維數據曲線圖1.1 繪制 單根二維曲線 plot 函數的基本調用 格式為： plot(x,y) 其中x和y為長度相同的向量，分別用於存儲x坐標 和y坐標數據。 例1-1 在0≤x≤2p區間內，繪制曲線 y=2e-0.5xcos(4πx)程序 如下：x=0:pi/100:2*pi;y=2*exp(-0.5*x).*cos(4*pi*x);plot(x,y) 例1-2 繪制曲線。 程序如下：t=0:0.1:2*pi;x=t.*sin(3*t);y=t.*sin(t).*sin(t);plot(x,y); plot函數最簡單的調用格式是只包含一個輸入參數 ： plot(x)在這種情況下，當x是實向量時，以該向量元素的下標為橫坐標，元素值為縱坐標畫出一條連續曲線，這實際上是繪制折線圖。 1.2 繪制多根二維曲線 1．plot函數的輸入參數是矩陣 形式 (1) 當x是向量，y是有一維與x同維的矩陣時，則繪制出多根不同顏色 的曲線。曲線條數等於y矩陣的另一維數，x被作為這些曲線共同的橫坐標。 (2) 當x,y是同維矩陣時，則以x,y對應列元素為橫、縱坐標分別繪制曲線，曲線條數等於矩陣的列數。 (3) 對只包含一個輸入參數的plot函數，當輸入參數是實矩陣時，則按列繪制每列元素值相對其下標的曲線，曲線條數等於輸入參數矩陣的列數。 當輸入參數是復數矩陣時，則按列分別以元素實部和虛部為橫、縱坐標繪制多條曲線。 2．含多個輸入參數的plot函數 調用格式為：plot(x1,y1,x2,y2,…,xn,yn)(1) 當輸入參數都為向量時，x1和y1，x2和y2，…，xn和yn分別組成一組向量對，每一組向量對的長度可以不同。每一向量對可以繪制出一條曲線，這樣可以在同一坐標內繪制出多條曲線。 (2) 當輸入參數有矩陣形式時，配對的x,y按對應列元素為橫、縱坐標分別繪制曲線，曲線條數等於矩陣的列數。 例1-3 分析下列程序繪制的曲線。 x1=linspace(0,2*pi,100);x2=linspace(0,3*pi,100);x3=linspace(0,4*pi,100);y1=sin(x1);y2=1+sin(x2);y3=2+sin(x3);x=[x1;x2;x3]';y=[y1;y2;y3]';plot(x,y,x1,y1-1) 3．具有兩個縱坐標標度的圖形 在MATLAB中，如果需要繪制出具有不同縱坐標標度的兩個圖形，可以使用plotyy繪圖函數。調用格式為： plotyy(x1,y1,x2,y2)其中x1,y1對應一條曲線，x2,y2對應另一條曲線。橫坐標的標度相同，縱坐標有兩個，左縱坐標用於x1,y1數據對，右縱坐標用於x2,y2數據對。 例1-4 用不同標度在同一坐標內繪制曲線y1=0.2e-0.5xcos(4πx) 和y2=2e-0.5xcos(πx)。 程序如下：x=0:pi/100:2*pi;y1=0.2*exp(-0.5*x).*cos(4*pi*x);y2=2*exp(-0.5*x).*cos(pi*x);plotyy(x,y1,x,y2); 4．圖形保持 hold on/off命令 控制 是保持原有圖形還是刷新原有圖形，不帶參數的hold命令在兩種狀態之間進行切換。 例1-5 採用圖形保持，在同一坐標內繪制曲線y1=0.2e-0.5xcos(4πx) 和y2=2e-0.5xcos(πx)。 程序如下：x=0:pi/100:2*pi;y1=0.2*exp(-0.5*x).*cos(4*pi*x);plot(x,y1)hold ony2=2*exp(-0.5*x).*cos(pi*x);plot(x,y2);hold off 1.3 設置曲線樣式 MATLAB提供了一些繪圖選項，用於確定所繪曲線的線型、顏色和數據點標記符號，它們可以組合使用。例如，「b-.」表示藍色點劃線，「y:d」表示黃色虛線並用菱形符標記數據點。當選項省略時，MATLAB規定，線型一律用實線，顏色將根據曲線的先後順序依次。 要設置曲線樣式可以在plot函數中加繪圖選項，其調用格式為： plot(x1,y1,選項1,x2,y2,選項2,…,xn,yn,選項n) 例1-6 在同一坐標內，分別用不同線型和顏色繪制曲線y1=0.2e-0.5xcos(4πx) 和y2=2e-0.5xcos(πx)，標記兩曲線交叉點。 程序如下：x=linspace(0,2*pi,1000);y1=0.2*exp(-0.5*x).*cos(4*pi*x);y2=2*exp(-0.5*x).*cos(pi*x);k=find(abs(y1-y2)<1e-2); %查找y1與y2相等點(近似相等)的下標 x1=x(k); %取y1與y2相等點的x坐標 y3=0.2*exp(-0.5*x1).*cos(4*pi*x1); %求y1與y2值相等點的y坐標 plot(x,y1,x,y2,'k:',x1,y3,'bp'); 1.4 圖形標注與坐標控制 1．圖形標注 有關圖形標注函數的調用格式為：title(圖形名稱) xlabel(x軸說明) ylabel(y軸說明) text (x,y,圖形說明) legend(圖例1,圖例2,…) 函數中的說明文字，除使用標準的ASCII字元外，還可使用LaTeX格式的控制字元，這樣就可以在圖形上添加希臘字母、數學符號及公式等內容。例如，text(0.3,0.5,『sin({\omega}t+{\beta})』)將得到標注效果sin(ωt+β)。 例1-7 在0≤x≤2p區間內，繪制曲線y1=2e-0.5x和y2=cos(4πx)，並給圖形添加圖形標注。 程序如下：x=0:pi/100:2*pi;y1=2*exp(-0.5*x);y2=cos(4*pi*x);plot(x,y1,x,y2)title('x from 0 to 2{\pi}'); %加圖形標題 xlabel('Variable X'); %加X軸說明 ylabel('Variable Y'); %加Y軸說明 text(0.8,1.5,'曲線y1=2e^{-0.5x}'); %在指定位置添加圖形說明 text(2.5,1.1,'曲線y2=cos(4{\pi}x)'); legend(『y1』,『 y2』) %加圖例 2．坐標控制 axis函數 的調用格式為： axis([xmin xmax ymin ymax zmin zmax])axis函數功能豐富，常用的格式還有： axis equal：縱、橫坐標軸採用等長刻度。 axis square：產生正方形坐標系(預設為矩形)。 axis auto：使用預設設置。 axis off：取消坐標軸。 axis on：顯示 坐標軸。 給坐標加網格線用grid命令來控制。grid on/off命令控制是畫還是不畫網格線，不帶參數的grid命令在兩種狀態之間進行切換。 給坐標加邊框用box命令來控制。box on/off命令控制是加還是不加邊框線，不帶參數的box命令在兩種狀態之間進行切換。 例1-8 在同一坐標中，可以繪制3個同心圓，並加坐標控制。 程序如下：t=0:0.01:2*pi;x=exp(i*t);y=[x;2*x;3*x]';plot(y)grid on; %加網格線 box on; %加坐標邊框 axis equal %坐標軸採用等刻度 1.5 圖形的可視化編輯 MATLAB 6.5版本在圖形窗口中提供了可視化的圖形編輯工具，利用圖形窗口菜單欄或工具欄中的有關命令可以完成對窗口中各種圖形對象的編輯處理。 在圖形窗口上有一個菜單欄和工具欄。菜單欄包含File、Edit、View、Insert、Tools、Window和Help共7個菜單項，工具欄包含11個命令按鈕。 1.6 對函數自適應采樣的繪圖函數 fplot函數的調用格式為： fplot(fname,lims,tol,選項) 其中fname為函數名，以字元串形式出現，lims為x,y的取值范圍，tol為相對允許誤差，其系統 默認值為2e-3。選項定義與plot函數相同。 例1-9 用fplot函數繪制f(x)=cos(tan(πx))的曲線。 命令如下：fplot('cos(tan(pi*x))',[ 0,1],1e-4) 1.7 圖形窗口的分割 subplot函數的調用格式為： subplot(m,n,p)該函數將當前圖形窗口分成m×n個繪圖區，即每行n個，共m行，區號按行優先編號，且選定第p個區為當前活動區。在每一個繪圖區允許以不同的坐標系單獨繪制圖形。 例5-10 在圖形窗口中，以子圖形式同時繪制多根曲線。 二。 其他二維圖形2.1 其他坐標系下的二維數據曲線圖 1．對數坐標圖形 MATLAB提供了繪制對數和半對數坐標曲線的函數，調用格式為： semilogx(x1,y1,選項1,x2,y2,選項2,…) semilogy(x1,y1,選項1,x2,y2,選項2,…) loglog(x1,y1,選項1,x2,y2,選項2,…) 2．極坐標圖 polar函數用來繪制極坐標圖，其調用格式為： polar(theta,rho,選項) 其中theta為極坐標極角，rho為極坐標矢徑，選項的內容與plot函數相似。 例1-12 繪制r=sin(t)cos(t)的極坐標圖，並標記數據點。 程序如下：t=0:pi/50:2*pi;r=sin(t).*cos(t);polar(t,r,'-*'); 2.2 二維統計分析圖 在MATLAB中，二維統計分析圖形很多，常見的有條形圖、階梯圖、桿圖和填充圖等，所採用的函數分別是： bar(x,y,選項) stairs(x,y,選項) stem(x,y,選項) fill(x1,y1,選項1,x2,y2,選項2,…) 例1-13 分別以條形圖、階梯圖、桿圖和填充圖形式繪制曲線y=2sin(x)。 程序如下：x=0:pi/10:2*pi;y=2*sin(x);subplot(2,2,1);bar(x,y,'g');title('bar(x,y,''g'')');axis([0,7,-2,2]);subplot(2,2,2);stairs(x,y,'b');title('stairs(x,y,''b'')');axis([0,7,-2,2]);subplot(2,2,3);stem(x,y,'k');title('stem(x,y,''k'')');axis([0,7,-2,2]);subplot(2,2,4);fill(x,y,'y');title('fill(x,y,''y'')');axis([0,7,-2,2]); MATLAB提供的統計分析繪圖函數還有很多，例如，用來表示各元素占總和的百分比的餅圖、復數的相量圖等等。 例1-14 繪制圖形： (1) 某企業全年各季度的產值(單位：萬元)分別為：2347,1827,2043,3025，試用餅圖作統計分析。 (2) 繪制復數的相量圖：7+2.9i、2-3i和-1.5-6i。 程序如下：subplot(1,2,1);pie([2347,1827,2043,3025]);title('餅圖'); legend('一季度','二季度','三季度','四季度'); subplot(1,2,2);compass([7+2.9i,2-3i,-1.5-6i]);title('相量圖'); 三。 隱函數繪圖MATLAB提供了一個ezplot函數繪制隱函數圖形，下面介紹其用法。 (1) 對於函數f = f(x)，ezplot函數的調用格式為： ezplot(f)：在默認區間-2π<x<2π繪制f = f(x)的圖形。 ezplot(f, [a,b])：在區間a<x<b繪制f = f(x)的圖形。 (2) 對於隱函數f = f(x,y)，ezplot函數的調用格式為： ezplot(f)：在默認區間-2π<x<2π和-2π<y<2π繪制f(x,y) = 0的圖形。 ezplot(f, [xmin,xmax,ymin,ymax])：在區間xmin<x<xmax和ymin<y<ymax繪制f(x,y) = 0的圖形。 ezplot(f, [a,b])：在區間a<x<b和a<y< b繪制f(x,y) = 0的圖形。 (3) 對於參數方程 x = x(t)和y = y(t)，ezplot函數的調用格式為： ezplot(x,y)：在默認區間0<t<2π繪制x=x(t)和y=y(t)的圖形。 ezplot(x,y, [tmin,tmax])：在區間tmin < t < tmax繪制x=x(t)和y=y(t)的圖形。 例1-15 隱函數繪圖應用 舉例。 程序如下：subplot(2,2,1);ezplot('x^2+y^2-9');axis equalsubplot(2,2,2);ezplot('x^3+y^3-5*x*y+1/5')subplot(2,2,3);ezplot('cos(tan(pi*x))',[ 0,1])subplot(2,2,4);ezplot('8*cos(t)','4*sqrt(2)*sin(t)',[0,2*pi]) 四。三維圖形4.1 三維曲線 plot3函數與plot函數用法十分相似，其調用格式為： plot3(x1,y1,z1,選項1,x2,y2,z2,選項2,…,xn,yn,zn,選項n) 其中每一組x,y,z組成一組曲線的坐標參數，選項的定義和plot函數相同。當x,y,z是同維向量時，則x,y,z 對應元素構成一條三維曲線。當x,y,z是同維矩陣時，則以x,y,z對應列元素繪制三維曲線，曲線條數等於矩陣列數。 例1-16 繪制三維曲線。 程序如下：t=0:pi/100:20*pi;x=sin(t);y=cos(t);z=t.*sin(t).*cos(t);plot3(x,y,z);title('Line in 3-D Space');xlabel('X');ylabel('Y');zlabel('Z');grid on; 4.2 三維曲面 1．產生三維數據 在MATLAB中，利用meshgrid函數產生平面區域內的網格坐標矩陣。其格式為： x=a:d1:b; y=c:d2:d;[X,Y]=meshgrid(x,y);語句執行後，矩陣X的每一行都是向量x，行數等於向量y的元素的個數，矩陣Y的每一列都是向量y，列數等於向量x的元素的個數。 2．繪制三維曲面的函數 surf函數和mesh函數的調用格式為： mesh(x,y,z,c)surf(x,y,z,c)一般情況下，x,y,z是維數相同的矩陣。x,y是網格坐標矩陣，z是網格點上的高度矩陣，c用於指定在不同高度下的顏色范圍。 例1-17 繪制三維曲面圖z=sin(x+sin(y))-x/10。 程序如下：[x,y]=meshgrid(0:0.25:4*pi);z=sin(x+sin(y))-x/10;mesh(x,y,z);axis([0 4*pi 0 4*pi -2.5 1]);此外，還有帶等高線的三維網格曲面函數meshc和帶底座的三維網格曲面函數meshz。其用法與mesh類似，不同的是meshc還在xy平面上繪制曲面在z軸方向的等高線，meshz還在xy平面上繪制曲面的底座。 例1-18 在xy平面內選擇區域[-8,8]×[-8,8]，繪制4種三維曲面圖。 程序如下：[x,y]=meshgrid(-8:0.5:8);z=sin(sqrt(x.^2+y.^2))./sqrt(x.^2+y.^2+eps);subplot(2,2,1);mesh(x,y,z);title('mesh(x,y,z)')subplot(2,2,2);meshc(x,y,z);title('meshc(x,y,z)')subplot(2,2,3);meshz(x,y,z)title('meshz(x,y,z)')subplot(2,2,4);surf(x,y,z);title('surf(x,y,z)') 3．標准三維曲面 sphere函數的調用格式為： [x,y,z]=sphere(n)cylinder函數的調用格式為： [x,y,z]= cylinder(R,n)MATLAB還有一個peaks 函數，稱為多峰函數，常用於三維曲面的演示。 <!--[if !supportEmptyParas]--> <!--[endif]-->例1-19 繪制標准三維曲面圖形。 程序如下：t=0:pi/20:2*pi;[x,y,z]= cylinder(2+sin(t),30);subplot(2,2,1);surf(x,y,z);subplot(2,2,2);[x,y,z]=sphere;surf(x,y,z);subplot(2,1,2);[x,y,z]=peaks(30); surf(x,y,z);<!--[if !supportEmptyParas]--> <!--[endif]-->4.3 其他三維圖形 在介紹二維圖形時，曾提到條形圖、桿圖、餅圖和填充圖等特殊圖形，它們還可以以三維形式出現，使用的函數分別是bar3、stem3、pie3 和fill3。 bar3函數繪制三維條形圖，常用格式為： bar3(y)bar3(x,y) stem3函數繪制離散序列數據的三維桿圖，常用格式為： stem3(z)stem3(x,y,z)pie3函數繪制三維餅圖，常用格式為： pie3(x)fill3函數等效於三維函數fill，可在三維空間內繪制出填充過的多邊形，常用格式為： fill3(x,y,z,c)<!--[if !supportEmptyParas]--> <!--[endif]-->例1-20 繪制三維圖形： (1) 繪制魔方陣的三維條形圖。 (2) 以三維桿圖形式繪制曲線y=2sin(x)。 (3) 已知x=[2347,1827,2043,3025]，繪制餅圖。 (4) 用隨機的頂點坐標值畫出五個黃色三角形。 程序如下：subplot(2,2,1);bar3(magic(4))subplot(2,2,2);y=2*sin(0:pi/10:2*pi);stem3(y);subplot(2,2,3);pie3([2347,1827,2043,3025]);subplot(2,2,4);fill3(rand(3,5),rand(3,5),rand(3,5), 'y' ) 例1-21 繪制多峰函數的瀑布圖和等高線圖。 程序如下：subplot(1,2,1);[X,Y,Z]=peaks(30);waterfall(X,Y,Z)xlabel('X-axis'),ylabel('Y-axis'),zlabel('Z-axis');subplot(1,2,2);contour3(X,Y,Z,12,'k'); %其中12代表高度的等級數 xlabel('X-axis'),ylabel('Y-axis'),zlabel('Z-axis');<!--[if !supportEmptyParas]--> 五。 圖形修飾處理5.1 視點處理 MATLAB提供了設置視點的函數view，其調用格式為： view(az,el)其中az為方位角，el為仰角，它們均以度為單位。系統預設的視點定義為方位角-37.5°,仰角30°。 例5-22 從不同視點觀察三維曲線。 5.2 色彩處理 1．顏色的向量表示 MATLAB除用字元表示顏色外，還可以用含有3個元素的向量表示顏色。向量元素在[0,1]范圍取值，3個元素分別表示紅、綠、藍3種顏色的相對亮度，稱為RGB三元組。 <!--[if !supportEmptyParas]--> <!--[endif]-->2．色圖 色圖(Color map)是MATLAB系統引入的概念。在MATLAB中，每個圖形窗口只能有一個色圖。色圖是m×3 的數值矩陣，它的每一行是RGB三元組。色圖矩陣可以人為地生成，也可以調用MATLAB提供的函數來定義色圖矩陣。 3．三維表面圖形的著色 三維表面圖實際上就是在網格圖的每一個網格片上塗上顏色。surf函數用預設的著色方式對網格片著色。除此之外，還可以用shading命令來改變著色方式。 shading faceted命令將每個網格片用其高度對應的顏色進行著色，但網格線仍保留著，其顏色是黑色。這是系統的預設著色方式。 shading flat命令將每個網格片用同一個顏色進行著色，且網格線也用相應的顏色，從而使得圖形表面顯得更加光滑。 shading interp命令在網格片內採用顏色插值處理，得出的表面圖顯得最光滑。 例1-23 3種圖形著色方式的效果展示。 程序如下：[x,y,z]=sphere(20);colormap(copper);subplot(1,3,1);surf(x,y,z);axis equalsubplot(1,3,2);surf(x,y,z);shading flat;axis equalsubplot(1,3,3);surf(x,y,z);shading interp;axis equal 5.3 光照處理 MATLAB提供了燈光設置的函數，其調用格式為： light('Color',選項1,'Style',選項2,'Position',選項3) <!--[if !supportEmptyParas]--> <!--[endif]-->例5-24 光照處理後的球面。 程序如下：[x,y,z]=sphere(20);subplot(1,2,1);surf(x,y,z);axis equal;light('Posi',[0,1,1]);shading interp;hold on;plot3(0,1,1,'p');text(0,1,1,' light');subplot(1,2,2);surf(x,y,z);axis equal;light('Posi',[1,0,1]);shading interp;hold on;plot3(1,0,1,'p');text(1,0,1,' light'); 5.4 圖形的裁剪處理 例5-25 繪制三維曲面圖，並進行插值著色處理，裁掉圖中x和y都小於0部分。 程序如下：[x,y]=meshgrid(-5:0.1:5);z=cos(x).*cos(y).*exp(-sqrt(x.^2+y.^2)/4);surf(x,y,z);shading interp;pause %程序暫停 i=find(x<=0&y<=0);z1=z;z1(i)=NaN;surf(x,y,z1);shading interp;為了展示裁剪效果，第一個曲面繪制完成後暫停，然後顯示裁剪後的曲面。 六。圖像處理 與動畫製作6.1 圖像處理 1．imread和imwrite函數 imread和imwrite函數分別用於將圖像文件 讀入MATLAB工作空間，以及將圖像數據和色圖數據一起寫入一定格式的圖像文件。MATLAB支持多種圖像文件格式，如.bmp、.jpg、.jpeg、.tif等。 2．image和imagesc函數 這兩個函數用於圖像顯示。為了保證圖像的顯示效果，一般還應使用colormap函數設置圖像色圖。 例1-26 有一圖像文件flower.jpg，在圖形窗口顯示該圖像。 程序如下：[x,cmap]=imread('flower.jpg'); %讀取圖像的數據陣和色圖陣 image(x);colormap(cmap);axis image off %保持寬高比並取消坐標軸 6.2 動畫製作 MATLAB提供getframe、moviein和movie函數進行動畫製作。 1．getframe函數 getframe函數可截取一幅畫面信息(稱為動畫中的一幀)，一幅畫面信息形成一個很大的列向量。顯然，保存 n幅圖面就需一個大矩陣。 2．moviein函數 moviein(n)函數用來建立一個足夠大的n列矩陣。該矩陣用來保存n幅畫面的數據，以備播放。之所以要事先建立一個大矩陣，是為了提高程序運行 速度。 3．movie函數 movie(m,n)函數播放由矩陣m所定義的畫面n次，預設時播放一次。 例1-27 繪制了peaks函數曲面並且將它繞z軸旋轉。 程序如下[X,Y,Z]=peaks(30); surf(X,Y,Z)axis([-3,3,-3,3,-10,10])axis off;shading interp;colormap(hot);m=moviein(20); %建立一個20列大矩陣 for i=1:20view(-37.5+24*(i-1),30) %改變視點 m(:,i)=getframe; %將圖形保存到m矩陣 end movie(m,2); %播放畫面2次
Ⅷ 誰有三角函數公式大全要帶圖的
倒數關系: tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 商的關系： sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα 平方關系： sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α)
平常針對不同條件的常用的兩個公式
sin² α+cos² α=1 tan α *cot α=1
一個特殊公式
（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ） 證明：（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）*sin（a-θ）
銳角三角函數公式
正弦： sin α=∠α的對邊/∠α 的斜邊 餘弦：cos α=∠α的鄰邊/∠α的斜邊 正切：tan α=∠α的對邊/∠α的鄰邊 餘切：cot α=∠α的鄰邊/∠α的對邊
二倍角公式
正弦 sin2A=2sinA·cosA 餘弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) =2Cos^2(a)-1 =1-2Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 正切 tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）
三倍角公式
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推導 sin(3a) =sin(a+2a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin^3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa =4cos^3a-3cosa sin3a=3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos^3a-3cosa =4cosa(cos²a-3/4) =4cosa[cos²a-(√3/2)^2] =4cosa(cos²a-cos²30°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述兩式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)
n倍角公式
sin（n a）=Rsina sin（a+π/n）……sin（a+（n-1）π/n）。 其中R=2^（n-1） 證明：當sin（na）=0時，sina=sin（π/n）或=sin（2π/n）或=sin（3π/n）或=……或=sin【（n-1）π/n】 這說明sin（na）=0與｛sina-sin（π/n）｝*｛sina-sin（2π/n）｝*｛sina-sin（3π/n）｝*……*｛sina- sin【（n-1）π/n】=0是同解方程。 所以sin（na）與｛sina-sin（π/n）｝*｛sina-sin（2π/n）｝*｛sina-sin（3π/n）｝*……*｛sina- sin【（n-1）π/n】成正比。 而（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ），所以 ｛sina-sin（π/n）｝*｛sina-sin（2π/n）｝*｛sina-sin（3π/n）｝*……*｛sina- sin【（n-1π/n】 與sina sin（a+π/n）……sin（a+（n-1）π/n）成正比（系數與n有關 ，但與a無關，記為Rn）。 然後考慮sin（2n a）的系數為R2n=R2*(Rn)^2=Rn*(R2)^n.易證R2=2，所以Rn= 2^（n-1）
半形公式
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2 cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))
和差化積
sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]
sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)
兩角和公式
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ
積化和差
sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2 cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2
雙曲函數
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 tanh(a) = sin h(a)/cos h(a) 公式一： 設α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數的值相等： sin（2kπ＋α）= sinα cos（2kπ＋α）= cosα tan（2kπ＋α）= tanα cot（2kπ＋α）= cotα 公式二： 設α為任意角，π+α的三角函數值與α的三角函數值之間的關系： sin（π＋α）= -sinα cos（π＋α）= -cosα tan（π＋α）= tanα cot（π＋α）= cotα 公式三： 任意角α與 -α的三角函數值之間的關系： sin（-α）= -sinα cos（-α）= cosα tan（-α）= -tanα cot（-α）= -cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數值之間的關系： sin（π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα tan（π-α）= -tanα cot（π-α）= -cotα 公式五： 利用公式-和公式三可以得到2π-α與α的三角函數值之間的關系： sin（2π-α）= -sinα cos（2π-α）= cosα tan（2π-α）= -tanα cot（2π-α）= -cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α與α的三角函數值之間的關系： sin（π/2+α）= cosα cos（π/2+α）= -sinα tan（π/2+α）= -cotα cot（π/2+α）= -tanα sin（π/2-α）= cosα cos（π/2-α）= sinα tan（π/2-α）= cotα cot（π/2-α）= tanα sin（3π/2+α）= -cosα cos（3π/2+α）= sinα tan（3π/2+α）= -cotα cot（3π/2+α）= -tanα sin（3π/2-α）= -cosα cos（3π/2-α）= -sinα tan（3π/2-α）= cotα cot（3π/2-α）= tanα (以上k∈Z) A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = √{(A² +B² +2ABcos(θ-φ)} · sin{ ωt + arcsin[ (A·sinθ+B·sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } √表示根號,包括{……}中的內容
誘導公式
sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan (-α)=-tanα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tanA= sinA/cosA tan（π/2＋α）＝－cotα tan（π/2－α）＝cotα tan（π－α）＝－tanα tan（π＋α）＝tanα 誘導公式記背訣竅：奇變偶不變，符號看象限
萬能公式
sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))²] cosα=[1-(tan(α/2))²]/[1+(tan(α/2))²] tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))²]
其它公式
(1) (sinα)²+(cosα)²=1 (2)1+(tanα)²=(secα)² (3)1+(cotα)²=(cscα)² 證明下面兩式,只需將一式,左右同除(sinα)²，第二個除(cosα)²即可 (4)對於任意非直角三角形,總有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 證: A+B=π-C tan(A+B)=tan(π-C) (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得證 同樣可以得證,當x+y+z=nπ(n∈Z)時,該關系式也成立 由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結論 (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA）²+(cosB）²+(cosC）²=1-2cosAcosBcosC (8)（sinA）²+（sinB）²+（sinC）²=2+2cosAcosBcosC 其他非重點三角函數 csc(a) = 1/sin(a) sec(a) = 1/cos(a)
編輯本段內容規律
三角函數看似很多，很復雜，但只要掌握了三角函數的本質及內部規律就會發現三角函數各個公式之間有強大的聯系。而掌握三角函數的內部規律及本質也是學好三角函數的關鍵所在. 1、三角函數本質：
[1] 根據右圖，有 sinθ=y/ r; cosθ=x/r; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 深刻理解了這一點，下面所有的三角公式都可以從這里出發推導出來，比如以推導 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 為例： 推導： 首先畫單位圓交X軸於C，D，在單位圓上有任意A，B點。角AOD為α，BOD為β，旋轉AOB使OB與OD重合，形成新A'OD。 A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 和差化積及積化和差用還原法結合上面公式可推出（換(a+b)/2與(a-b)/2） 單位圓定義 單位圓 六個三角函數也可以依據半徑為一中心為原點的單位圓來定義。單位圓定義在實際計算上沒有大的價值；實際上對多數角它都依賴於直角三角形。但是單位圓定義的確允許三角函數對所有正數和負數輻角都有定義，而不只是對於在 0 和 π/2 弧度之間的角。它也提供了一個圖象，把所有重要的三角函數都包含了。根據勾股定理，單位圓的等式是： 圖象中給出了用弧度度量的一些常見的角。逆時針方向的度量是正角，而順時針的度量是負角。設一個過原點的線，同 x 軸正半部分得到一個角 θ，並與單位圓相交。這個交點的 x 和 y 坐標分別等於 cos θ 和 sin θ。圖象中的三角形確保了這個公式；半徑等於斜邊且長度為1，所以有 sin θ = y/1 和 cos θ = x/1。單位圓可以被視為是通過改變鄰邊和對邊的長度，但保持斜邊等於 1的一種查看無限個三角形的方式。 兩角和公式
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
Ⅸ 理科高中數學
知識模塊 知識點 能力要求 難度 考試 題型 考點解析及預測
集合 集合的概念與元素特徵 了解 ★ 選擇題、填空題 "高考對集合的考查有兩種主要形式：一是直接考查集合的概念；二是以集合為工具考查集合語言和集合思想的運用。從涉及的知識上講，常與映射、函數、方程、不等式等知識相聯系，小題目綜合化是這部分內容的一種趨勢。1集合中元素的三個性質(確定性、無序性、互異性)
2子集(空集的認識、子集的理解)
3交集、並集、補集的運算(大多數與不等式的解法、函數的定義域與值域的求解)"
子集、全集、 子集、全集 理解 ★★ 選擇題、填空題
交集、並集、補集 交集、並集、補集的運算 理解 ★★ 選擇題、填空題
函數的概念及其表示 函數三要素：定義域、值域、解析式 理解 ★★ 選擇題、填空題 "函數是高中數學最重要的內容，是貫穿整個中學數學的一條主線，因而一直是高考的必考內容和熱點內容．
(1)函數的概念及其性質(單調性、奇偶性、周期性、對稱性)是高考考查的主要內容，函數的定義域、解析式、值域是高考考查重點，函數性質的綜合考查在歷年考試中久考不衰，應重點探究．
(2)指數函數、對數函數、冪函數是中學數學的重要函數模型，也是函數內容的主體部分，對於指數式和對數式的運算時有考查．
(3)函數這部分內容高考中分值一般為10～12分．
預計在2012年高考試題中，考查函數的應用主要有兩種形式，一是以選擇題、填空題的形式考查幾種常見函數模型在實際問題中的應用以及函數零點、函數與方程的關系等，一般為容易題或中檔以上題；二是以解答題的形式考查實際問題以及函數與其他知識，如與方程、不等式、數列、解析幾何等的綜合，綜合性強，難度較大．"
函數的基本性質 單調性、奇偶性、周期性、對稱性 掌握 ★★★★ 選擇題、填空題
指數函數 分數指數冪的概念，有理數指數冪的運算性質，指數函數的概念、圖像、運算性質 理解 ★★★ 選擇題、填空題、解答題
對數函數 對數的概念、性質，對數函數的性質、圖像及運算性質 理解 ★★★ 選擇題、填空題、解答題
冪函數 冪函數的概念、圖像與性質 了解 ★★ 選擇題、填空題
二次函數 二次函數的最值討論，根分布 理解 ★★★ 選擇題、填空題
函數圖像及其變換 函數圖像及其變換，抽象函數 理解 ★★ 選擇題、填空題
函數與方程 二分法，零點定理 理解 ★★ 選擇題、填空題、解答題
任意角和弧度制 任意角的概念，弧度的意義，能正確的進行弧度與角度的換算 了解 ★ 選擇題、填空題 "高考中，三角函數主要考查學生的運算能力、靈活運用能力，在客觀題中，突出考察基本公式所涉及的運算、三角函數的圖像基本性質，尤其是對角的范圍及角之間的特殊聯系較為注重。三角函數部分，公式較多，易混淆，在運用過程中，要觀察三角函數中函數名稱的差異、角的差異、關系式的差異，確定三角函數變形化簡方向。
近5年高考對於三角函數部分的考查主要有兩種題型：1.選擇或填空：大都以考察基本公式、基本性質、圖像變換為主，解答題以基礎題為主，中檔題可能有所涉及，壓軸題可能性不大。 2.解答題：(1)三角函數的運算；(2)三角函數的圖像變換與函數的性質；(3)向量與三角的綜合運用及解三角形。(4)與其它知識的結合，尤其是與解析幾何的結合。
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任意角的三角函數 任意角的正弦、餘弦、正切的定義 掌握 ★★ 選擇題、填空題
三角函數的基本關系、誘導公式 同角三角函數的基本關系式，正、餘弦的誘導公式 理解 ★★ 選擇題、填空題、解答題
三角函數的圖像與性質 正弦函數、餘弦函數圖象和性質；周期函數 理解 ★★★ 選擇題、填空題、解答題
函數y=Asin(ωx+φ)的圖像 函數y=Asin(ωx+φ)的圖像 掌握 ★★★ 選擇題、填空題、解答題
兩角和與差的正弦、餘弦和正切公式 兩角和與差的正弦、餘弦、正切公式 掌握 ★★ 選擇題、填空題、解答題
升降冪公式 二倍角的正弦、餘弦、正切公式；能正確運用三角公式進行三角函數式的化簡、求值和恆等式的證明 掌握 ★★ 選擇題、填空題、解答題
正弦定理和餘弦定理 利用正、餘弦定理解三角形 掌握 ★★★ 選擇題、填空題、解答題
解斜三角形的應用舉例 正弦、餘弦定理與三角函數的綜合應用，正弦定理與三角形面積公式的綜合應用 掌握 ★★★ 解答題
平面向量的基本概念 向量的概念，向量的幾何表示 理解 ★ 選擇題、填空題 "高考中，要求掌握向量的基本定理、向量的加減運算、向量的數量積的運算，體會平面向量的數量積與向量投影的關系，並理解其幾何意義；掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量積的運算，能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用向量積判斷兩個平面向量的垂直關系。解答題中，突出考查基本公式所涉及的運算。平面向量與三角函數的綜合問題是高考經常出現的問題，考查了向量的知識，三角函數的知識，達到了高考中試題的覆蓋面的要求。(1)平面向量的基本定理及其坐標表示；(2)平面向量的數量積、向量的模和夾角的坐標表示；(3)平面向量的應用(證平行、垂直；求夾角、距離；三角形的四心的向量表示)(4)與其它知識的結合，尤其是與三角函數、解析幾何的結合。
有關向量概念和向量的基本定理、模和向量夾角的定義、夾角公式、向量的坐標運算的命題，主要以選擇題或填空題為主，考查的難度屬中檔類型。以三角函數作為坐標，以向量的坐標運算或向量與解三角形的內容相結合，也有向量與三角函數圖象平移結合的問題，屬中檔偏易題。解答題以基礎題為主，中檔題可能有所涉及，壓軸題可能性不大。
解答題主要在以下兩種題目出現：
1.三角函數題目條件、結論以向量形式給出；
2.圓錐曲線題目條件、結論以向量形式給出。
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平面向量的線性運算 向量加減法 掌握 ★★ 選擇題、填空題、解答題
平面向量的基本定理及坐標運算 平面向量的正交分解及坐標表示，平面向量的坐標運算、共線的坐標表示 掌握 ★★ 選擇題、填空題、解答題
平面向量的數量積 平面向量數量積的運算性質，平面向量數量積的坐標表示，向量的模和夾角的坐標表示 掌握 ★★ 選擇題、填空題、解答題
平面向量的應用 證平行、垂直，與三角函數結合的運算，三角形的四心的向量表示 理解 ★★★ 選擇題、填空題、解答題
數列的概念與簡單表示法 數列的概念、通項公式的意義、遞推公式 了解 ★ 選擇題、填空題 "數列在整個中學數學教材中，處於一個知識匯合點的地位，很多知識都與數列有著密切關系。可以說，數列在各知識溝通方面發揮著重要作用。數列雖然在教學大綱中課時不是很多，但在高考中，數列內容卻佔有重要地位，分值約占總分的8%～11%。試題大致分兩類，一類是數列基本知識的基本題。多採用選擇題或填空題；另一類是中等以上難度的綜合題。
1、從知識點看，近幾年的高考試題中有關本章的試題，主要命題熱點有
(1)關於等差、等比數列的概念、性質、通項公式、前n項和公式的應用是必考內容。
(2)從an到sn，從sn到an的關系。
(3)某些簡單的遞推式問題。
(4)應用前述公式解應用題。
(5)綜合數學歸納法解決猜想問題或證明等式、不等式問題。
(6)數列與函數、三角、解析幾何的綜合題等。
2、從解題思想方法的規律看：主要有：
(1)方程思想的應用，利用公式列方程(組)，例如：等差、等比數列中的「知三求三」問題。
(2)函數思想的應用。
(3)待定系數法、數學歸納法、構造法、分類討論等方法的應用。
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等差數列 等差數列及其通項公式的概念 掌握 ★★ 選擇題、填空題、解答題
等差數列前n項和 前n項和公式 掌握 ★★ 選擇題、填空題、解答題
等比數列 等比數列的概念 掌握 ★★ 選擇題、填空題、解答題
等比數列前n項和 前n項和公式 掌握 ★★ 選擇題、填空題、解答題
數列通項求法 常見的幾種數列通項求法 掌握 ★★★ 選擇題、填空題、解答題
數列前n項和求法 常見的幾種數列前n項和求法 掌握 ★★★ 選擇題、填空題、解答題
不等關系與不等式 不等式的定義、比較兩個是數的大小、不等式的性質 了解 ★ 選擇題、填空題 "從近幾年的高考試題來看，對不等式重點考查的有四種題型：解不等式、證明不等式、線性規劃問題、不等式的應用、不等式的綜合性問題。這些不等式試題主要體現了等價轉化、函數與方程、分類討論等數學思想．近年來高考命題越來越關注開放性、探索性等創新型問題，尤其是與函數、導數、數列綜合的不等式證明問題以及涉及不等式的應用題等。1．在選擇題中會繼續考查比較大小，線性規劃問題，與函數、方程、三角等知識結合出題.線性規劃問題仍為高考的重點與熱點，屬必考題，要關注目標函數的幾何意義及參數問題。
2．在選擇題與填空題中注意不等式的解法建立不等式求參數的取值范圍，以及求最大值和最小值應用題.
3．解題中注意不等式與函數、方程、數列、應用題、解析幾何的綜合、突出滲透數學思想和方法.
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一元二次不等式及其解法 一元二次不等式及其解法 掌握 ★★ 選擇題、填空題、解答題
二元一次不等式組及線性規劃 二元一次不等式的幾何意義、二元一次不等式組及線性規劃 掌握 ★★★ 選擇題、填空題
基本不等式 基本不等式及其應用 運用 ★★★★★ 選擇題、填空題、解答題
不等式恆成立、能成立、恰成立 不等式恆成立、能成立、恰成立 理解 ★★★★ 選擇題、填空題、解答題
演算法與程序框圖 演算法的含義、程序框圖的三種基本邏輯結構 了解 ★ 選擇題、填空題 高考中，主要考查程序框圖及一些實際問題的流程圖。框圖知識仍為考查的熱點問題，內容以程序框圖為主。題型多以選擇題和填空題為主，難度不大。
基本演算法語句 基本演算法語句 掌握 ★★ 選擇題、填空題
演算法案例 演算法案例 了解 ★ 選擇題、填空題
隨機抽樣 簡單隨機抽樣、系統抽樣、分層抽樣 掌握 ★★ 選擇題、填空題 從內容上看，以應用題為命題背景，考查分層抽樣、系統抽樣的有關計算，或三種抽樣方法的區別，以及莖葉圖、頻率分布表、頻率分布直方圖的識圖與運用。1．三種抽樣方法，頻率分布表，頻率分布直方圖和莖葉圖的有關計算仍是考試的重點。2．文科出現在選擇、填空、解答都有可能。理科主要出現在填空題中。3.主要是通過案例,體會運用統計方法,解決實際問題的思想和方法。
用樣本估計總體 用樣本的頻率分布估計總體、用樣本的數字特徵估計總體的基本數字特徵 了解 ★★ 選擇題、填空題
變數間的相關關系 變數間的相關關系 了解 ★ 選擇題、填空題
隨機事件概率 隨機事件發生的不確定性和頻率的穩定性、概率的意義 了解 ★ 選擇題、填空題、解答題 概率是高考的重點和必考內容，多以主觀題的形式出現。理解隨機事件的概率，會求等可能事件的概率，能用加法公式和乘法公式求互斥事件和相互獨立事件同時發生的概率。注意幾何概型部分包括長度型、面積型、體積型等類型。
古典概型 兩個互斥事件的概率加法公式、古典概型的概念及其特點 掌握 ★★★ 選擇題、填空題、解答題
幾何概型 幾何概型的概念及其特點 了解 ★★★ 選擇題、填空題、解答題
空間幾何體 柱、錐、台、球及其簡單組合體的結構特徵、三視圖、直觀圖 了解 ★★ 選擇題、填空題 "高考中，柱、錐、台、球的定義和相關性質是基礎，以它們為載體考查線線、線面、面面間的關系是重點，異面直線所成角、線面角、二面角(三垂線定理、逆定理)也是重點考查內容。通過三視圖考查簡單幾何體的體積或表面積，題型以選擇題和填空題為主，題目較容易，同時也要注意作為解答題的背景出現(模擬題曾考過)。
直線、平面平行、垂直的判定和性質、線線角、線面角、二面角以及三垂線定理、逆定理仍為高考的重點和熱點，題型以解答題的計算與證明題的形式出現，難度為中等或偏難。
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空間幾何體的三視圖和直觀圖 選擇題、填空題
空間幾何體的表面積與體積 稜柱、棱錐、台、球的側面展開圖、表面積和體積的計算公式 了解 ★★ 選擇題、填空題
空間點、直線、平面之間的位置關系 空間直線、平面位置關系、四個公理、一個定理 了解 ★★★ 選擇題、填空題、解答題
直線、平面平行的判定及其性質 直線和平面的位置關系、直線與平面平行的判定定理和性質定理、兩個平面平行的判定定理和性質定理 掌握 ★★★ 選擇題、填空題、解答題
直線、平面垂直的判定及其性質 直線與平面垂直的判定定理和性質定理、兩個平面垂直的判定定理和性質定理 掌握 ★★★ 選擇題、填空題、解答題
空間角與距離 異面直線所成的角、二面角、直線與平面所成的角、異面直線間的距離、直線與平面間的距離、平面與平面間的距離 掌握 ★★★★ 選擇題、填空題、解答題
直線的傾斜角和斜率 傾斜角和斜率、直線方程的點斜式、斜截式、截距式、兩點式和一般式 掌握 "★★
" 選擇題、填空題 "高考中，要求掌握直線方程的基本概念、傾斜角、斜率、兩直線平行、垂直的判定、點到直線的距離；用待定系數法確定圓的標准方程及一般方程；給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關系，會求圓的切線方程、公共弦方程及弦長等有關直線與圓的難問題；通過「數」和「形」的結合，充分利用圓的幾何性質簡化運算。(1)直線的方程；(2)點到直線的距離公式、兩條平行線間的距離公式；(3)圓的方程；(4)直線與圓、圓與圓的位置關系(點、線、圓與圓的距離最值問題)；(4)對稱問題；(5)直線與圓錐曲線結合的問題。
直線和圓的基本概念、方程、幾何性質，直線與圓、圓與圓的位置關系主要以填空題、選擇題的形式考查，難度不大屬中檔題。直線與其他曲線的位置關系，主要考查數形結合思想及分析討論、解決問題能力，綜合性較強，難度也較大。
解答題主要在以下題目出現：直線與圓錐曲線結合的問題。
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直線的方程 選擇題、填空題、解答題
直線的交點坐標與距離公式 解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標、兩點間的距離公式、點到直線的距離公式、平行線間的距離 掌握 ★★ 選擇題、填空題、解答題
圓的方程 圓的幾何要素、標准方程和一般方程 掌握 ★★★ 選擇題、填空題、解答題
直線與圓的位置關系 直線與圓的位置關系、圓的切線方程、公共弦方程、弦長 運用 ★★★★ 選擇題、填空題
空間直角坐標系 空間直角坐標系 了解 ★★ 選擇題、填空題、解答題 主要與空間向量聯系
命題及其關系 四種命題及其相互關系 了解 ★ 選擇題、填空題 對於邏輯的考查主要考查四種形式的命題和充要條件，特別是充要條件，已經在許多省市的試卷中單獨出現。命題的形式：一是原命題與逆否命題的等價性(含最簡單的反證法)；二是充要條件的判定。在考查基礎知識的同時，還考查命題轉換、推理能力與分析問題的能力及一些數學思想方法的考查。在邏輯方面，高考重點考查充要條件的判定、全稱量詞和存在量詞。
充分條件與必要條件 充分條件、必要條件及充要條件的意義 掌握 ★★★ 選擇題、填空題
簡單的邏輯聯結詞 邏輯連詞「或、且、非」的含義 了解 ★★ 選擇題、填空題
全稱量詞與存在量詞 全稱量詞與存在量詞的意義、含有量詞命題的否定 掌握 ★★ 選擇題、填空題
橢圓及其標准方程 橢圓及其標准方程，橢圓的簡單幾何性質，橢圓的參數方程 掌握 ★★★ 選擇題、填空題、解答題 "本專題是高中數學的核心內容之一，在高考試題中一般有2題(1個選擇題或1個填空題、1個解答題)共計18-19分左右。選擇題和填空題考察以圓錐曲線(雙曲線或拋物線綜合)的基本概念和性質為主，難度在中等以下，一般較容易得分，解答題常作為數學高考中的壓軸題，重點考查圓錐曲線中橢圓或拋物線的重要知識，著重考查直線與橢圓、直線與拋物線的位置關系，往往結合平面向量進行求解，在復習中應充分重視。一、圓錐曲線中的離心率、焦點三角形、通徑等知識點是填空題、選擇題中的高頻試題，其難度不高，方法靈活。對圓錐曲線的定義的考查也比較多。在雙曲線的幾何性質中，漸近線是一種獨特的性質，仍是考查的重點內容。
二、直線與圓錐曲線(橢圓)位置關系容易和平面向量、數列、函數、不等式相結合，設計存在性問題、對稱問題、定值問題、定點問題、最值問題(參數取值范圍問題)等。這些試題抽象程度高，運算難度大，還可考查學科內知識綜合運用能力，是數學壓軸試題的首選之一。
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橢圓的簡單幾何性質
雙曲線及其標准方程與簡單幾何性質 雙曲線及其標准方程，雙曲線的簡單幾何性質，雙曲線的參數方程 掌握 ★★★ 選擇題、填空題、解答題
雙曲線的簡單幾何性質
拋物線及其標准方程 拋物線線及其標准方程，拋物線的簡單幾何性質 掌握 ★★★ 選擇題、填空題、解答題
拋物線的簡單幾何性質
直線與圓錐曲線(綜合問題) 位置,最值，范圍，軌跡問題 運用 ★★★★★ 解答題
空間向量及其運算 空間向量的概念、向量的基本定理、空間向量的線性運算及其坐標表示 掌握 ★★ 解答題 高考中，解答與空間角有關的問題通常既可以用傳統法，又可用向量法。在新課程標准下，立體幾何的基本理論知識要求有所降低，因此應用空間向量這一工具解題更為重要，特別是利用給出空間圖形的特殊性，構建適當的空間直角坐標系解決問題更應熟練掌握，並能靈活運用。空間角是立體幾何中一個重要概念，它是空間圖形的一個突出的量化指標，是空間圖形位置關系的具體體現。立體幾何通常考一道綜合題，居於6個解答題的中間位置，難度不是很大。用向量法來解可以降低難度，並且多數情況下傳統法、向量法都可以解題時，有時還可以用向量的坐標運算解題。利用空間向量的數量積及坐標運算來解決立體幾何問題仍是高考的重點。
空間幾何中的向量法 空間向量的坐標運算、兩點距離公式、夾角公式 運用 ★★★★ 解答題
導數概念及其幾何意義 導數的概念、幾何意義 理解 ★★ 選擇題、填空題、解答題 "高考對導數的考查形式多樣，難易均有，可以在選擇題和填空題中出現，主要以導數的運算、導數的幾何意義、導數的應用為主(研究單調性、極值和最值等)；也更容易在解答題中出現，有時候作為壓軸題，主要考查導數的綜合應用，往往與函數、方程、不等式、數列、解析幾何等聯系在一起，分值為12～16分．
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導數的計算 初等函數的導數公式、和差積商的求導法則、復合函數的求導法則 掌握 ★★
導數在研究函數中的應用 利用導數研究函數的單調性，極大、極小值，最大、最小值 運用 ★★★★ 解答題
定積分的概念與微積分基本定理 定積分的概念、微積分基本定理、牛-萊公式及其應用 掌握 ★★ 選擇題、填空題 微積分是新課標新增內容，故高考對微積分的考查會注重基礎，重在考查基本概念和方法，所以一般以選擇題和填空題的形式出現，考查內容以定積分的計算和面積的計算為主。
合情推理與演繹推理 合情推理、演繹推理、合情推理與演繹推理之間的聯系和區別 了解 ★ 選擇題、填空題 "1．作為新課標內容,主要考查類比推理和歸納推理.
2．題目要出現在填空題,難度中檔.
1．仍將考查歸納推理與演繹推理,主要應先由已知條件歸納出一個結論,並加以證明或以推理作為題目的已知條件給出猜測的結論,並要求考生會應用或加以證明.
2．從題型上看,主要以填空題形式出現.
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直接證明與間接證明 直接證明的兩種基本方法：綜合法和分析法、間接證明的基本方法：反證法 了解 ★ 選擇題、填空題
數學歸納法 數學歸納法及其應用 掌握 ★★★★ 解答題
數系的擴充與復數的引入 數系的擴充、復數的概念 理解 ★ 選擇題、填空題 復數的運算是本專題的重點，也是每年必考的知識之一。主要考查復數代數形式及運算，題型為選擇題，屬容易的題。
復數的代數形式的代數運算 復數的加法減法、復數的乘法除法 掌握 ★★ 選擇題、填空題
分類計數加法原理與分步計數乘法原理 分類計數加法原理與分步計數乘法原理 理解 ★★ 選擇題、填空題、解答題 排列與組合，是當今發展迅速的組合數學的最初步的知識。由於其思想方法較為獨特靈活，是發展學生抽象能力和邏輯思維能力的好素材。它多以客觀題的形式出現，考查其基本知識的應用。從近幾年的高考試卷來看，「排列、組合、二項式定理」的內容在高考有所改動，試題都具有一定的靈活性、綜合性、實用性。主重分類討論的思想的建立。從考試題型和難易度來看：屬傳統知識的排列、組合應用問題每年都有1~2小題，難度中檔以上(如2010年理科的「染色問題」)；二項式定理基本上是一小題，著重考查二項式定理展開式的通項公式或系數性質，試題難度易、中檔。
排列與組合 排列、組合概念、排列數公式、組合數公式、組合數的兩個性質 掌握 ★★★★ 選擇題、填空題、解答題
二項式定理 二項式定理以及二項展開式的性質、通項公式 掌握 ★★★ 選擇題、填空題
離散型隨機變數及其分布列 離散型隨機變數及其分布列 掌握 ★★★ 解答題 "1．從內容上看，求簡單隨機變數的分布列，以及由此分布列求隨機變數的數學期望與方差，特別是二項分布，這部分內容綜合性強，涉及排列、組合、二項式定理和概率。
2．從考查形式上看，主要為解答題，難度中檔。
3.在復習時牢固掌握求隨機變數分布列的步驟，准備運用期望與方差的公式，並能逆用和變用。
4．以應用題為背景命題，預計是2012年高考的一個熱點，今後是高考的考試熱點。
5．從題型來看，隨機變數在山東卷更多的是解答題，難度中檔。"
二項分布及其應用 條件概率、事件的相互獨立性、二項分布及其應用 了解 ★★★ 解答題
離散型隨機變數的均值與方差 離散型隨機變數的均值與方差、 掌握 ★★★ 解答題
正態分布 正態分布曲線的特點、曲線所表示的意義 了解 ★★ 填空題
回歸分析的基本思想及其應用 回歸分析的基本思想、方法及其應用 了解 ★ 填空題 "
考綱里只是作為了解知識點，近幾年沒有考過。"
獨立性檢驗的基本思想及其應用 獨立性檢驗的基本思想及其應用 了解 ★ 填空題
相似三角形判定及其性質 平行線等分線段定理及推論、平行線分線段成比例定理及推論、相似三角形的概念、相似三角形的性質定理及判定 掌握 ★★ 填空題 高考中，主要考查定理的應用與簡單的計算。本專題屬於高考選考內容，題型上來看主要是填空題，難度不大。
直線與圓的位置關系 直線與圓的位置關系、圓切線的性質定理及判定、圓周角、圓周角定理及推論、弦切角、弦切角定理及推論、圓的切線，內接四邊形，比例線段 掌握 ★★ 填空題
圓錐曲線性質的探究 圓錐曲線性質的探究 了解 ★ 選擇題、解答題
極坐標系與簡單的極坐標方程 極坐標系、極坐標方程 了解 ★★ 填空題 "1.理解極坐標系與直角坐標系的轉化關系
2.掌握常見曲線的參數方程(如直線、圓、橢圓等)
預計2012年高考中：
1. 本章內容仍是選考內容，難度不大。
2. 從能力要求上看，要求學生具備一定的讀圖識圖能力和轉化的思想。
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直線與曲線的參數方程 參數方程、直線與曲線的參數方程 掌握 ★★★ 填空題
Ⅹ 一次函數圖像定律大全
函數性質
1．在正比例函數時，x與y的商一定。在反比例函數時，x與y的積一定。
在y=kx+b（k，b為常數，k≠0）中，當x增大m倍時，函數值y則增大m倍，反之，當x減少m倍時，函數值y則減少m倍。
2．當x=0時，b為一次函數圖像與y軸交點的縱坐標，該點的坐標為(0，b)。
3．當b=0時，一次函數變為正比例函數。當然正比例函數為特殊的一次函數。
4．在兩個一次函數表達式中：
當兩個一次函數表達式中的k相同，b也相同時，則這兩個一次函數的圖像重合；
當兩個一次函數表達式中的k相同，b不相同時，則這兩個一次函數的圖像平行；
當兩個一次函數表達式中的k不相同，b不相同時，則這兩個一次函數的圖像相交；
當兩個一次函數表達式中的k不相同，b相同時，則這兩個一次函數圖像交於y軸上的同一點（0，b）；
當兩個一次函數表達式中的k互為負倒數時，則這兩個一次函數圖像互相垂直。
5．兩個一次函數（y1=k1x+b1,y2=k2x+b2)相乘時（k≠0），得到的的新函數為二次函數，
該函數的對稱軸為－（k2b1+k1b2)/(2k1k2)；
當k1,k2正負相同時，二次函數開口向上；
當k1,k2正負相反時，二次函數開口向下。
二次函數與y軸交點為（0，b2b1)。
1）在一次函數圖像上的任取一點P（x，y），則都滿足等式：y=kx+b(k≠0)。
（2）一次函數與y軸交點的坐標總是（0，b)，與x軸總交於（-b/k，0）。正比例函數的圖像都經過原點。
k，b決定函數圖像的位置：
y=kx時，y與x成正比例：
當k>0時，直線必通過第一、三象限，y隨x的增大而增大；
當k<0時，直線必通過第二、四象限，y隨x的增大而減小。
y=kx+b時：
當k>0，b>0，這時此函數的圖象經過第一、二、三象限；
當k>0，b<0，這時此函數的圖象經過第一、三、四象限；
當k<0，b>0，這時此函數的圖象經過第一、二、四象限；
當k<0，b<0，這時此函數的圖象經過第二、三、四象限。
當b>0時，直線必通過第一、三象限；
當b<0時，直線必通過第二、四象限。
特別地，當b=0時，直線經過原點O（0，0）。
這時，當k>0時，直線只通過第一、三象限，不會通過第二、四象限。當k<0時，直線只通過第二、四象限，不會通過第一、三象限。
6．兩個一次函數(y1=ax+b,y2=cx+d)之比，得到的新函數y3=(ax+b)/(cx+d)為反比性函數，漸近線為x=－b/a，y=c/a。
特殊位置關系當平面直角坐標系中兩直線平行時，其函數解析式中k的值（即一次項系數）相等；
當平面直角坐標系中兩直線垂直時，其函數解析式中k的值互為負倒數（即兩個k值的乘積為-1）。
一次函數的解析式①點斜式：y-y1=k(x-x1)（k為直線斜率，(x1，y1)為該直線所過的一個點）；
②兩點式：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)（已知直線上（x1,y1）與（x2,y2）兩點），
③截距式：x/a+y/b=1（a、b分別為直線在x、y軸上的截距）。
解析式表達的局限性：
①所需條件較多（2個點，因為使用待定系數法需要列一個二元一次方程組）；
②、③不能表達沒有斜率的直線（即垂直於x軸的直線；注意「沒有斜率的直線平行於y軸」表述不準，因為x=0與y軸重合）；
④不能表達平行於坐標軸的直線和過原點的直線